Большая советсткая энциклопедия Форма (матем.)

Форма (матем.)

Форма (математическая), многочлен от нескольких переменных, все члены которого имеют одну и ту же степень (под степенью одночлена х^aу^b... z^g понимают число a+b +... + g). Теория Ф. находит применение в алгебраической геометрии, теории чисел, дифференциальной геометрии, механике и др. областях математики и её приложений.

В зависимости от числа m переменных Ф. называют бинарными (при m =2), тернарными (при m =3) и т.д., в зависимости от степени n их членов – линейными (при n =1), квадратичными (при n = 2), кубичными (при n = 3) и т.д. Например, ху + 2y²+ z² является тернарной квадратичной Ф. Если переменные можно разбить на группы так, чтобы каждый член Ф. линейно зависел от переменных каждой группы, то Ф. называется полилинейной. Примером полилинейной Ф. является определитель, рассматриваемый как функция своих элементов (группы, на которые разбиваются в этом случае элементы, представляют собой совокупности элементов, расположенные в одинаковых строках или столбцах). Любая Ф. может быть получена из полилинейной Ф. путём отождествления некоторых переменных. Обратно – из каждой Ф. можно путём некоторого процесса, называемого процессом поляризации, получить полилинейную Ф. Например, Ф. x² + 2x₁, x₂+ x² соответствует полилинейная Ф.: x₁y₁+ x₁y₂ + y₁x₂ + x₂y₂, которая в результате отождествления y₁ с x₁ и y₂ c x₂ превращается в данную Ф.: x₁² + 2x₁x₂ + x₂².

Уравнение любой алгебраической кривой на плоскости может быть записано в однородных координатах в виде f (x₁, x₂, x₃) = 0, где f – некоторая тернарная Ф. Аналогично можно дать геометрическое истолкование Ф. большего числа переменных. Геометрические свойства кривых поверхностей и т.д., не зависящие от выбора системы координат, выражаются при помощи инвариантов Ф. Теория инвариантов является одним из основных разделов алгебраической теории Ф., находящим применение не только в алгебраической геометрии, но и в ряде др. разделов математики и её приложений.

Наиболее важными для приложений являются квадратичные формы. Например, квадрат длины вектора выражается в виде квадратичной Ф. от его координат. Если механическая система при движении остаётся близкой к положению равновесия, то её кинетическая и потенциальная энергия (если они не зависят явно от времени) выражаются, соответственно, квадратичными Ф. вида:

и .

Изучение колебаний таких систем основано на теории квадратичных Ф., в частности на приведении этих Ф. к сумме квадратов. Теория квадратичных Ф. тесно связана с теорией кривых и поверхностей второго порядка (см. также Эрмитова форма).

В теории чисел весьма важным является вопрос о представимости целых чисел как значений Ф. с целочисленными коэффициентами при целочисленных значениях переменных. Например, любое натуральное число представимо в виде x²+ y²+ z²+ t² (теорема Лагранжа). Изучение вопроса о представимости целых чисел в виде ax²+2bxy + су²; где а, b, с, х и у – целые числа, было проведено Ж. Лагранжем и К. Гауссом. Этот вопрос тесно связан с теорией алгебраических чисел. А. Туэ доказал, что уравнения вида f (х, у)= m, где степень формы f больше двух, имеют конечное число целочисленных решений (см. Диофантовы уравнения).

В дифференциальной геометрии и римановой геометрии используются дифференциальные Ф., т. е. многочлены от дифференциалов переменных, каждый член которых имеет относительно дифференциалов одну и ту же степень. Коэффициенты дифференциальных Ф. могут произвольно зависеть от самих переменных. Рассматриваются и полилинейные дифференциальные Ф. Примерами дифференциальных Ф. являются первая и вторая квадратичные Ф. поверхностей теории. Важную роль в дифференциальной геометрии играют целые рациональные функции от коэффициентов квадратичных Ф. и их производных, не изменяющиеся при любых дифференцируемых невырождающихся преобразованиях переменных (дифференциальные инварианты). Например, полная, или гауссова, кривизна поверхности является дифференциальным инвариантом первой квадратичной Ф. Исследования по теории дифференциальных инвариантов сыграли важную роль в возникновении тензорного исчисления. Теория дифференциальных инвариантов находит большое применение в физике, позволяя давать инвариантные (не зависящие от выбора системы координат) формулировки физическим законам.

Многие теоремы интегрального исчисления (см. Грина формулы, Остроградского формула, Стокса формула) могут рассматриваться как теоремы о связи дифференциальных Ф. различной степени. Обобщая эти соотношения, Э. Картан построил теорию внешнего дифференцирования Ф., играющую важную роль в современной математике.

Лит.: Веблен О., Инварианты дифференциальных квадратичных форм, пер. с англ., М., 1948; Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М. – Л.. 1948; Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.