Большая советсткая энциклопедия Отображение

Отображение

Отображение (матем.) множества А в множество В, соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f (x) множества В, называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у). Иногда под О. понимают установление такого соответствия. Примерами О. могут служить параллельное проектирование одной плоскости на другую, стереографическая проекция сферы на плоскость. Географическая карта может рассматриваться как результат О. точек земной поверхности (или части её) на точки куска плоскости. Логически понятие "О." совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование. Как средство исследования О. даёт возможность заменять изучение соотношений между элементами множества А изучением соотношений между элементами множества В, что в ряде случаев может оказаться проще. Так, параллельным проектированием можно отобразить параллелограмм в квадрат, центральным проектированием – любую линию второго порядка в окружность и т.д. Многие свойства остаются неизменными (инвариантными) при О. Так, при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, отношение отрезков длин параллельных прямых и т.д.

Если каждый элемент множества В является образом элемента множества А, то О. называется отображением А на множество В. Если каждый элемент из В имеет один и только один прообраз, то О. называется взаимно однозначным. О. называется непрерывным, если близкие элементы множества А переходят в близкие элементы множества В. Точнее это означает, что если элементы x₁, x₂,..., х_п,... сходятся к x, то элементы f (x₁), f (x₂),..., f (хn),... сходятся к f (x).

Каждой части Т множества А соответствует часть f (T) множества В, состоящая из образов точек этой части; она называется образом Т. Если все точки части Q множества В являются образами точек из А, то совокупность всех точек х из А таких, что f (x) лежит в Q, называются полным прообразом Q и обозначается f ^–1(Q). При взаимно однозначном О. полный прообраз каждого элемента множества В состоит из одного элемента множества А.

Взаимно однозначное О. имеет обратное О., сопоставляющее элементу у из В его прообраз f ^–1(y). Взаимно однозначное О. называется топологическим, или гомеоморфным, если как оно, так и обратное ему О. непрерывны. При гомеоморфных О. сохраняются лишь наиболее общие свойства фигур, как, например, связность,, ориентируемость, размерность и др. Так, квадрат и круг гомеоморфны, но квадрат и куб не гомеоморфны. Свойства фигур, не изменяющиеся при гомеоморфных О., изучаются в топологии. Если в множествах А и В имеются некоторые соотношения и если эти соотношения сохраняются при О., то О. называется изоморфным относительно этих соотношений (см. Изоморфизм).

В математическом анализе большую роль играют О. одного множества функций на другое. Например, дифференцирование может рассматриваться как О., при котором функции f (x) соответствует функция f’^I (x). Среди таких О. наиболее простыми являются О., при которых сумма функций переходит в сумму, а при умножении функции на число образ её умножается на то же число. Такие О. называются линейными, их изучают в функциональном анализе. См. также Линейное преобразование, Операторов теория.

В ряде случаев в множествах А и В можно ввести координаты, т. е. задавать каждую точку этих множеств системой чисел (x₁,..., х_п) и (y₁,..., у_п). Тогда О. задаётся системой функций у_к = f_k (x₁,..., x_n). 1 £ k £ m. В большинстве встречающихся на практике случаев функции f₁, f₂,..., f_m дифференцируемые: тогда О. называется дифференцируемым. Если О. дифференцируемо, m= n и якобиан О. отличен от нуля, то О.взаимно однозначно.

Дифференцируемые О. поверхностей на поверхности изучаются в дифференциальной геометрии. Имеются свойства, общие всем дифференциально-геометрическим О. Например, на поверхности S всегда можно указать такую ортогональную сеть (см. Сети линий), которой на поверхности S ’ соответствует также ортогональная сеть. Эта теорема имеет важное значение в картографии.

Наиболее важны следующие классы О. поверхностей. Изометрическое отображение, которое характеризуется тем, что всякая дуга, лежащая на S, имеет ту же длину, что и образ этой дуги на S ’. При таких О. сохраняются площади фигур, а также углы между двумя направлениями, выходящими из одной точки (подробнее см. Дифференциальная геометрия, Изгибание). Конформное отображение, при котором сохраняются углы между всякими двумя направлениями, выходящими из одной точки (см. Конформное отображение). Примером может служить стереографическая проекция. Сферическое отображение поверхности S на сферу S состоит в том, что каждой точке М поверхности S ставится в соответствие такая точка М ’ сферы S, чтобы нормали к S и S, проведённые соответственно в точках М и М ’ были параллельны. Более общим является О. двух произвольных поверхностей по параллельности нормалей. Геодезическое отображение поверхностей, при котором любой геодезической линии на поверхности S соответствует на S ’ линия также геодезическая. Геодезическая О. поверхности постоянной отрицательной кривизны на часть плоскости имеет большое значение для истолкования геометрии Лобачевского. Эквиареальное отображение поверхности на поверхность, при котором площади соответствующих друг другу фигур равны.

С точки зрения картографии, каждое из трёх О. кривой поверхности на плоскость — конформное, геодезическое и эквиареальное — имеет свои преимущества; удовлетворить сразу не только всем этим требованиям, но даже и каким-либо двум из них оказывается невозможным.

Лит.: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., ч. 1, М. — Л., 1935; Гильберт Д. и Конфоссен С., Наглядная геометрия, пер. с нем., 2 изд., М. — Л., 1951.