Большая советсткая энциклопедия Сети линий

Сети линий

Сети линий на поверхности, всевозможные пары однопараметрических семейств линий, лежащих на поверхности. Например, на однополостном гиперболоиде два семейства прямолинейных образующих составляют С. л. Дифференциальная геометрия изучает С. л. прежде всего "в малом", т. е. на достаточно малом куске поверхности, в пределах которого ни поверхность, ни линии, составляющие сеть, не имеют особых точек; при этом линии предполагаются достаточно гладкими и расположенными так, что через каждую точку рассматриваемой области проходят в двух разных направлениях точно две линии сети — по одной из каждого семейства.

Всякая система координат (и, v) на поверхности определяет сеть ("координатную"), состоящую из двух семейств: и = const и v = const. От выбора координатной сети зависит вид формул теории поверхностей. Так, если эта сеть ортогональная, то в выражении первой квадратичной формы

ds² = Edu² + 2Fdudv + Gdv²

коэффициент F = 0, в результате чего многие формулы упрощаются. В противоположность координатным сетям, которые могут быть наложены на поверхность бесчисленным множеством способов, не будучи обязательно связаны с ней каким-либо геометрическим соотношением, на каждой поверхности существуют такие С. л., которые определяются самой поверхностью.

Лит.: Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 2, М. — Л., 1948; Норден А. П., Теория поверхностей, М., 1956; Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963.