Большая советсткая энциклопедия Лорана ряд

Лорана ряд

Лорана ряд, ряд вида

, (*)

то есть ряд, расположенный как по положительным, так и по отрицательным степеням разности z — а (где z, а и коэффициенты ряда — комплексные числа). Совокупность членов с неотрицательными степенями представляет здесь обыкновенный степенной ряд, сходящийся, вообще говоря, внутри круга с центром а и радиусом R (£ ¥); остальные члены образуют ряд, сходящийся, вообще говоря, вне круга с тем же центром, но с радиусом r (r ³ 0). Если r < R, то ряд (*) сходится в круговом кольце r < |z — а| < R; его сумма является в этом кольце аналитической функцией комплексного переменного z.

Несмотря на то, что ряды вида (*) встречаются уже у Л. Эйлера (1748), они получили своё название по имени П. Лорана, который в 1843 показал, что всякая функция комплексного переменного, однозначная и аналитическая в кольце r < |z — а| < R, может быть разложена в этом кольце в такой ряд (это так называемая теорема Лорана). Впрочем, ту же теорему получил несколько раньше К. Вейерштрасс, но его работа была опубликована лишь в 1894.