Большая советсткая энциклопедия Степенной ряд

Степенной ряд

Степенной ряд, ряд вида a₀ + a₁z + a₂z² +... + a_nzⁿ +...,

где коэффициенты a₀, a₁, a₂,..., a_n,... — комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z. Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D = {z: |z| < R} с центром в точке z = 0. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус R — радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z = 0 (в этом случае R = 0; пример: ) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R = ¥; пример: ). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши — Адамара

.

Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z| = R) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры: , R = 1, ряд расходится в каждой точке окружности ;

, R = 1,

ряд абсолютно сходится во всех точках окружности . В любой внешней точке круга сходимости (lzl > R) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р. является аналитической функцией; производные любого порядка функции f (z) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора рядом своей суммы.

А. А. Гончар.