Большая советсткая энциклопедия Эрмита многочлены

Эрмита многочлены

Эрмита многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0,1,2,... Э. м. H_n (x) могут быть определены формулой:

.

В частности, H_o = 1, H₁ = 2х. H₂ = 4x² — 2, H₃ = 8x³ — 12x, H₄ = 16х⁴ — 48х² + 12. Э. м. ортогональны на всей оси Ox относительно веса е^-х (ортогональные многочлены). Дифференциальное уравнение для у = H_n (x).

y'' — 2ху' + 2ny = 0;

рекуррентные формулы:

H_n+1 (х) — 2xH_n (x) + 2nH_n-1 (х) = 0,

.

Иногда за H_n принимают многочлены, отличающиеся от указанных выше множителями, зависящими от n, а иногда в качестве веса берут . Основные свойства этой системы были изучены П. Л. Чебышевым (1859) и Ш. Эрмитом (1864).