Большая советсткая энциклопедия Сжатых отображений принцип
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я

Сжатых отображений принцип

Сжатых отображений принцип, одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном ("сжимающем") отображении его в себя. С. о. п. применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождает в пространстве М уравнение

Ax = х. (*)

Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.

Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство

d (Ax, Ау) £ ad (х, у),

где символ d (u, u) означает расстояние между точками u и u метрического пространства М.

С. о. п. утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x0 из М последовательность {xn}, определяемая рекуррентными соотношениями

xn = Axn-1, n = 1,2,...,

имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:

.

С. о. п. позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости С. о. п. решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом.

С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959.

Ш. А. Алимов.

Следующие

Сжижение газов, переход вещества из газообразного состояния в жидкое. С. г. достигается охлаждением их ниже критической температ… читать дальше



Сжимаемость, способность вещества изменять свой объём под действием всестороннего давления. С. обладают все вещества. Если вещес… читать дальше



Си, один из музыкальных звуков, VII ступень основного до-мажорного диатонического звукоряда (см. Ступень, Сольмизация). Буквенно… читать дальше