Большая советсткая энциклопедия Метрическое пространство

Метрическое пространство

Метрическое пространство, множество объектов (точек), на котором введена метрика. Всякое М. п. является топологическим пространством; за окрестности в нём принимаются всевозможные открытые шары [при этом открытым шаром радиуса R с центром в точке x₀ называется совокупность всех точек х, для которых расстояние r(х, x₀) < R]. Топология одного и того же множества может быть различной в зависимости от метрики, введённой на нём. Например, на множестве вещественных функций, определённых и непрерывных на отрезке [a, b] числовой оси, можно ввести две метрики:

Соответствующие М. п. обладают разными топологическими свойствами. М. п. с метрикой (1) является полным [для любой последовательности его точек {x_n} такой, что r₁(x_n, x_m) ® 0 При n, m ® ¥, найдётся элемент x₀ М. п., являющийся пределом этой последовательности]; М. п. с метрикой (2) этим свойством не обладает. В М. п. можно вводить фундаментальные понятия анализа: непрерывность отображения одного М. п. в другое, сходимость, компактность и т.д. Понятие "М. п." было введено М. Фреше в 1906.

Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л. 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

В. И. Соболев.