Большая советсткая энциклопедия Регрессия (математич.)
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я

Регрессия (математич.)

Регрессия в теории вероятностей и математической статистике, зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у = f(х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = xi наблюдается ni, значений yi1, ..., величины у, то зависимость средних арифметических от xi и является Р. в статистическом понимании этого термина. Примером такого рода зависимости служит, в частности, зависимость средних диаметров сосен от их высот; см. табл. в ст. Корреляция.

Изучение Р. в теории вероятностей основано на том, что случайные величины Х и Y, имеющие совместное распределение вероятностей, связаны вероятностной зависимостью: при каждом фиксированном значении Х = х величина Y является случайной величиной с определённым (зависящим от значения х) условным распределением вероятностей. Р. величины Y по величине Х определяется условным математическим ожиданием Y, вычисленным при условии, что Х = х:

Е(Y êх) = u(х).

Уравнение у = u(х), в котором х играет роль "независимой" переменной, называется уравнением регрессии, а соответствующий график — линией регрессии величины Y по X. Точность, с которой уравнение Р. Y по Х отражает изменение Y в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины Y, вычисленной для каждого значения Х = х:

D(Y êх)=s2(x).

Если s2(х)= 0 при всех значениях х,то можно с достоверностью утверждать, что Y и Х связаны строгой функциональной зависимостью Y = u(X). Если s2(х)= 0 при всех значениях х и u(х)не зависит от х, то говорят, что Р. Y по Х отсутствует. Аналогичным образом определяется Р. Х по Y и в частности, уравнение Р. х =u(у),= Е(ХïY = у). Функции у = u(х) и х =u(у), вообще говоря, не являются взаимно обратными.

Линии Р. обладают следующим замечательным свойством: среди всех действительных функций f (х) минимум математического ожидания Е[Yf(X)]2 достигается для функции f(x) = u(х), т. е. Р. Y по Х даёт наилучшее, в указанном смысле, представление величины Y по величине X. Это свойство используется для прогноза Y по X: если значение Y непосредственно не наблюдается и эксперимент позволяет регистрировать лишь компоненту Х вектора (X, Y), то в качестве прогнозируемого значения Y используют величину u (X).

Наиболее простым является случай, когда Р. Y по Х линейна:

Е(Yïx) = b0 + b1x.

Коэффициенты b0 и b1, называются коэффициентами регрессии, определяются равенствами

,

где mХ и mY математические ожидания Х и Y, и — дисперсии Х и Y, а r — коэффициент корреляции между Х и Y. Уравнение Р. при этом выражается формулой

В случае, когда совместное распределение Х и Y нормально, обе линии Р. у = u(хх =u(у) являются прямыми.

Если Р. Y по Х отлична от линейной, то последнее уравнение есть линейная аппроксимация истинного уравнения Р.: математическое ожидание Е[Y b0 — b1X]2достигает минимума b0 и b1 при b0=b0 и b1= b1. Особенно часто встречается случай уравнения Р., выражающегося линейной комбинацией тех или иных заданных функций:

у = u(Х) = b0j0(x) + b1j1(x) +... + bmjm(x).

Наиболее важное значение имеет параболическая (полиномиальная) Р., при которой j0(x) =1 , j1(x) = x, ..., jm(x) = xm.

Понятие Р. применимо не только к случайным величинам, но и к случайным векторам. В частности, если Y — случайная величина, а Х = (X1, ..., Xk) случайный вектор, имеющие совместное распределение вероятностей, то Р. Y по X определяется уравнением

y = u ( x1, ..., xk),

где u( x1, ..., xk) = E{YïX = x1, ... , Xk= xk}.

Если

u ( x1, ..., xk) = b0 + b1x1 + ... + bkxk,

то Р. называется линейной. Эта форма уравнения Р. включает в себя многие типы Р. с одной независимой переменной, в частности полиномиальная Р. Y по Х порядка k сводится к линейной Р. Y по X1, ..., Xk, если положить Xk= Xk.

Простым примером Р. Y по Х является зависимость между Y и X, которая выражается соотношением: Y = u(X) + d, где u(x) = Е(Y IX = х), а случайные величины Х и d независимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи у = u(х) между неслучайными величинами у и х.

На практике обычно коэффициенты Р. в уравнении у = u(х) неизвестны и их оценивают по экспериментальным данным (см. Регрессионный анализ).

Первоначально термин "Р." был употреблен английским статистиком Ф. Гальтоном (1886) в теории наследственности в следующем специальном смысле: "возвратом к среднему состоянию" (regression to mediocrity) было названо явление, состоящее в том, что дети тех родителей, рост которых превышает среднее значение на а единиц, имеют в среднем рост, превышающий среднее значение меньше чем на а единиц.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Кендалл М. Дж., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.

А. В. Прохоров.

Следующие

Регрессия моря (от лат. regressio — обратное движение, отход), отступание моря от берегов. Происходит в результате поднятия суши… читать дальше



Регрессный иск, обратное требование, в гражданском праве и процессе адресованное в суд или арбитраж требование гражданина или ор… читать дальше



Регресс (от лат. regressus — обратное движение), тип развития, для которого характерен переход от высшего к низшему. Содержание … читать дальше