Большая советсткая энциклопедия Регрессионный анализ

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ, раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статистическим данным (см. Регрессия). Цель Р. а. состоит в определении общего вида уравнения регрессии, построении оценок неизвестных параметров, входящих в уравнение регрессии, и проверке статистических гипотез о регрессии. При изучении связи между двумя величинами по результатам наблюдений (x₁, y₁), ..., (x_n, y_n) в соответствии с теорией регрессии предполагается, что одна из них Y имеет некоторое распределение вероятностей при фиксированном значении х другой, так что

Е(Y ï х)= g(x, b) и D(Y ï х) = s²h²(x),

где b обозначает совокупность неизвестных параметров, определяющих функцию g(х), a h(x) есть известная функция х (в частности, тождественно равная 1). Выбор модели регрессии определяется предположениями о форме зависимости g(х, b) от х и b. Наиболее естественной с точки зрения единого метода оценки неизвестных параметров b является модель регрессии, линейная относительно b:

g(x, b) = b₀g₀(x) + ... + b_kg_k(x).

Относительно значений переменной х возможны различные предположения в зависимости от характера наблюдений и целей анализа. Для установления связи между величинами в эксперименте используется модель, основанная на упрощённых, но правдоподобных допущениях: величина х является контролируемой величиной, значения которой заранее задаются при планировании эксперимента, а наблюдаемые значения у представимы в виде

y_i = g(x_i, b) + e_i, i = 1, ..., k,

где величины e_i характеризуют ошибки, независимые при различных измерениях и одинаково распределённые с нулевым средним и постоянной дисперсией s². Случай неконтролируемой переменной х отличается тем, что результаты наблюдений (x_i, y_i), ..., (x_n, y_n) представляют собой выборку из некоторой двумерной совокупности. И в том, и в другом случае Р. а. производится одним и тем же способом, однако интерпретация результатов существенно различается (если обе исследуемые величины случайны, то связь между ними изучается методами корреляционного анализа).

Предварительное представление о форме графика зависимости g(x) от х можно получить по расположению на диаграмме рассеяния (называемой также корреляционным полем, если обе переменные случайные) точек (x_i, (x_i)), где (x_i) — средние арифметические тех значений у,которые соответствуют фиксированному значению x_i. Например, если расположение этих точек близко к прямолинейному, то допустимо использовать в качестве приближения линейную регрессию. Стандартный метод оценки линии регрессии основан на использовании полиномиальной модели (m ³ 1)

y(x, b) = b₀ + b₁x + ... + b_mx^m

(этот выбор отчасти объясняется тем, что всякую непрерывную на некотором отрезке функцию можно приблизить полиномом с любой наперёд заданной степенью точности). Оценка неизвестных коэффициентов регрессии b₀, ..., b_m и неизвестной дисперсии s² осуществляется наименьших квадратов методом. Оценки параметров b₀, ..., b_m, полученные этим методом, называются выборочными коэффициентами регрессии, а уравнение

определяет т. н. эмпирическую линию регрессии. Этот метод в предположении нормальной распределённости результатов наблюдений приводит к оценкам для b₀, ..., b_m и s², совпадающим с оценками наибольшего правдоподобия (см. Максимального правдоподобия метод). Оценки, полученные этим методом, оказываются в некотором смысле наилучшими и в случае отклонения от нормальности. Так, если проверяется гипотеза о линейной регрессии, то

, ,

где и — средние арифметические значений x_i и y_i, и оценка будет несмещенной для g(х), а её дисперсия будет меньше, чем дисперсия любой другой линейной оценки. При допущении, что величины y_i нормально распределены, наиболее эффективно осуществляется проверка точности построенной эмпирической регрессионной зависимости и проверка гипотез о параметрах регрессионной модели. В этом случае построение доверительных интервалов для истинных коэффициентов регрессии b₀, ..., b_m и проверка гипотезы об отсутствии регрессионной связи b_i = 0, i = 1, ..., m) производится с помощью Стьюдента распределения.

В более общей ситуации результаты наблюдений y₁,..., y_n рассматриваются как независимые случайные величины с одинаковыми дисперсиями и математическими ожиданиями

Ey_i, = b₁ x_1i + ... + b_kx_ki, i = 1, ..., n,

где значения x_ji, j = 1, ..., k предполагаются известными. Эта форма линейной модели регрессии является общей в том смысле, что к ней сводятся модели более высоких порядков по переменным x₁,..., x_k. Кроме того, некоторые нелинейные относительно параметров b_i; модели подходящим преобразованием также сводятся к указанной линейной форме.

Р. а. является одним из наиболее распространённых методов обработки результатов наблюдений при изучении зависимостей в физике, биологии, экономике, технике и др. областях. На модели Р. а. основаны такие разделы математической статистики, как дисперсионный анализ и планирование эксперимента; модели Р. а. широко используются в статистическом анализе многомерном.

Лит.: Юл Дж. Э., Кендэл М. Дж., Теория статистики, пер. с англ., 14 изд., М., 1960; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Айвазян С. А., Статистическое исследование зависимостей, М., 1968; Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968. См. также лит. при ст. Регрессия.

А. В. Прохоров.