Большая советсткая энциклопедия Разложение на множители

Разложение на множители

Разложение на множители многочлена, представление его в виде произведения двух или большего числа многочленов низших степеней, например: х² — 1=(х — 1)(х + 1), х² — (a + b) x + ab =(x — a)(x — b), x⁴— a⁴ =(x — a)(x + a)(x ²+ a ²). Простейшие приёмы Р. на м.: вынесение общего множителя за скобку: х⁴ + a²x²= x²(x² + a²), х (х — а) — b (x — a) =(x — a)(x — b); применение готовых (запоминаемых наизусть) формул: x² — a² =(х — a)(x + a), x³— a³ =(х — а)(х² + ах + а²), x²+2ax + a² = (х + а)², x³ +3ax² +3a²x + a³=(х + а)³, способ группировки, например х³+ ax²+ a²x + a³=(х³ + ax²) + (a²x + a ³) = x²(x + a) + a²(x + a) =(х + а)(а² + х ²); x⁴ + a⁴=(х⁴ +2а²х²+ а⁴) — 2a²x² =(x² + a²)²— ( ах)²=(х² — ax + a ²)(x² + ax + a²), и т.п. Если многочлен степени n р (х)= a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ (a_n ¹ 0) имеет корни x₁, x₂,..., x_n, то справедливо Р. на м.: р (х) = a_n (х — х₁)...(х — xn);здесь все множители 1-й степени (линейные). Например, из того, что многочлен 3-й степени х ³ — 6х ²+ 11x — 6 имеет корни x₁ = 1, x₂ =2, x₃=3, вытекает Р. на м.: х³ — 6х²+ 11x — 6 = (x — 1)(x — 2)(х — 3). Вообще, каждый многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители 1-й или 2-й степени также с действительными коэффициентами. Так, выше было указано разложение: x⁴ + a⁴ =(x²— ax + a²)(x² + ax + a²). Здесь все множители 2-й степени; при а действительном и неравном нулю они могут быть разложены только на множители с комплексными коэффициентами, например

x² + ax + a² = .

Среди многочленов от двух или большего числа переменных существуют многочлены сколь угодно высокой степени, которые вообще не разлагаются на множители (неприводимые многочлены); таков, например, многочлен xⁿ + y при любом натуральном n. См. Многочлен, Неприводимый многочлен.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.

А. И. Маркушевич.