Большая советсткая энциклопедия Остроградского метод

Остроградского метод

Остроградского метод, метод выделения рациональной части неопределённого интеграла

где Q (x) — многочлен степени п, имеющий кратные корни, а Р (х)— многочлен степени m £ n — 1.

О. м. позволяет алгебраическим путём представить такой интеграл в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является рациональной функцией переменного х, а второе рациональной части не содержит. Имеет место равенство

(1)

где Q₁, Q₂, P₁, P₂— многочлены степеней соответственно n₁, n₂, m₁, m₂, причём n₁ + n₂= n, m₁ £ n₁ — 1, m₂ £ n₂ — 1 и многочлен Q₂(x) не имеет кратных корней. Многочлен Q₁(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q (x) и , и, следовательно, явное выражение Q₁(x) можно найти, например, с помощью Евклида алгоритма. Дифференцируя правую и левую части (1), получим тождество

. (2)

Тождество (2) позволяет найти явное выражение многочленов P₁(x) и P₂(x) неопределённых коэффициентов методом.

О. м. был впервые предложен в 1844 М. В. Остроградским.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969.