Большая советсткая энциклопедия Момент

Момент

Момент (лат. momentum — движущая сила, толчок, побудительное начало, от moveo — двигаю), математическое понятие, играющее важную роль в механике и теории вероятностей. Если на прямой линии расположена система материальных точек, массы которых соответственно равны m₁, m₂, ..., (m_i > 0), а абсциссы относительно некоторого начала отсчёта О равны x₁, x₂, ..., то мо ментом порядка k этой системы относительно точки О называют сумму

М. первого порядка в механике называется статическим моментом, а М. второго порядка — моментом инерции. Если в выражении М. все абсциссы заменить их абсолютными значениями, то получатся т. н. абсолютные М. Точку с абсциссой (S_ix_im_i)/(S_im_i) называются центром данной системы масс. М., вычисленные относительно центра, называются центральными. Центральный М. первого порядка для всякой системы равен нулю. Из всех М. инерции центральный является наименьшим. Неравенство Чебышева: сумма масс, находящихся от точки О на расстоянии, большем а, не превышает М. инерции системы относительно О, разделённого на а².

Если распределение массы имеет плотность f(x) ³ 0, то М. порядка k называют интеграл

при условии его абсолютной сходимости. В случае произвольно распределённой массы, суммы в выражениях для М. заменяются интегралами Стилтьеса (см. Интеграл); именно таким путём и возник впервые интеграл Стилтьеса. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу.

В теории вероятностей роль абсцисс играют различные возможные значения случайной величины, а на места масс становятся соответствующие вероятности. М. первого порядка (который здесь всегда является абсциссой центра, т. к. полная масса равна 1) называются математическим ожиданием данной случайной величины, а центральный М. второго порядка — её дисперсией. В теории вероятностей чрезвычайно важную роль играет упомянутое неравенство Чебышева. В математической статистике М. служат обычно основными статистическими сводными характеристиками распределений.

Задача математического анализа, состоящая в том, чтобы охарактеризовать свойства функции f(x) по свойствам последовательности её М.:

носит название проблемы моментов. Эта задача впервые рассматривалась П. Л. Чебышевым в 1874 в связи с исследованиями по теории вероятностей (попытка доказать центральную предельную теорему). Позже при исследовании этой задачи возникли новые мощные методы математического анализа.

Лит.: Чебышев П. Л., Избр. труды, М., 1955; Марков А. А., Избр. труды, М., 1951; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962.