Большая советсткая энциклопедия Метрика (матем. термин)

Метрика (матем. термин)

Метрика, математический термин, обозначающий правило определения того или иного расстояния между любыми двумя точками (элементами) данного множества А. При этом расстоянием r(а, b) между точками а и b множества А называется вещественная числовая функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1) r(а, b) ³ 0, причём r(а, b) = 0 тогда и только тогда, когда а = b,

2) r(а, b) = r(b, а); 3) r(а, b) + r(b, с) ³ r(а, с). На одном и том же множестве М. может вводиться различным образом. Например, на плоскости за расстояние между точками а и b, имеющими координаты (x₁, y₁) и (х₂, y₂) соответственно, можно принять не только обычное евклидово расстояние

но и различные другие расстояния, например

В векторных пространствах (функциональных и координатных) М. часто задаются нормы, иногда — с помощью скалярного произведения. В дифференциальной геометрии М. вводится путём задания элемента длины дуги при помощи дифференциальной квадратичной формы (см. Римановы геометрии). Множество с введённой на нём М. называется метрическим пространством.

Иногда под М. понимают правило определения не только расстояний, но и углов; например, проективная метрика.

В. И. Соболев.