Большая советсткая энциклопедия Линии второго порядка

Линии второго порядка

Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

a₁₁x² + a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₁₁ = 0. (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,

нераспадающиеся линии:

— эллипсы,

— гиперболы,

y² = 2px — параболы,

— мнимые эллипсы;

распадающиеся линии:

— пары пересекающихся прямых,

— пары мнимых пересекающихся прямых,

x² - а² = 0 — пары параллельных прямых,

x² + а² = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

x² = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.

Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. — выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:

, ,

S = a₁₁ + a₂₂, (a_ij = a_ji).

Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них D ¹ 0; положительное значение инварианта d выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол d < 0, для парабол d = 0). Различить случаи действительного или мнимого эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов D и S: если D и S разных знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если D и S одного знака.

Три основные инварианта D, d и S определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты D, d и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).

Существуют классификации Л. в. п. с точки зрения др. групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, — группы аффинных преобразований — эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные Л. в. п. (см. Подобие)считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии, в которой бесконечно удалённые элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс — класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола — в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности Л. в. п. Именно,

невырождающиеся линии

(x₁, x₂, x₃ — однородные координаты):

x₁² + x₂² — x₃² = 0 — действительный овал,

x₁² + x₂² + x₃² = 0 — мнимый овал,

вырождающиеся линии:

x₁² — x₂² = 0 — пара действительных прямых,

x₁² + x₂² = 0 — пара мнимых прямых,

x₁² = 0 — пара совпадающих действительных прямых.

Кроме аналитического способа определения Л. в. п., то есть заданием уравнения, существуют и др. способы. Например, эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью — конические сечения.

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 5 изд., М., 1960.

А. Б. Иванов.