Большая советсткая энциклопедия Делимость

Делимость

Делимость, способность одного числа делиться на другое. Свойства Д. зависят от того, какие совокупности чисел рассматривают. Если рассматривают только целые положительные числа, то говорят, что одно число делится на другое, или, иначе, одно является кратным другого, если частное от деления первого числа (делимого) на второе (делитель) будет также целым числом. Число называется простым, если у него нет делителей, отличных от него самого и от единицы (таковы, например, числа 2,3,5,7,97,199 и т.д.), и составным в противном случае. Любое целое число можно разложить в произведение простых, например 924 = 2×2×3×7×11, причём это разложение единственно с точностью до порядка множителей (как говорят, однозначно); так, разложение числа 924 на множители может быть записано также следующим образом:

924 = 11×7×3×2×2 = 11×3×2×2×7 и т.д.,

однако все эти разложения отличаются только порядком множителей. Данное число n делится на простое число р в том и только в том случае, если р встречается среди простых множителей, на которые разлагается n. Установлен ряд признаков Д., по которым можно легко определить, делится ли число n (записанное по десятичной системе счисления) на данное простое число р. Среди этих признаков практически наиболее удобны следующие: для Д. на 2 надо, чтобы последняя цифра числа делилась на 2; для Д. на 3, — чтобы сумма цифр числа делилась на 3; для Д. на 5, — чтобы последняя цифра была 0 или 5; для Д. на 11, — чтобы разность суммы цифр, стоящих на чётных местах, и суммы цифр, стоящих на нечётных местах, делилась на 11. Имеются также признаки Д. на составные числа: для Д. на 4 надо, чтобы число, записываемое двумя последними цифрами, делилось на 4; для Д. на 8, — чтобы число, записываемое тремя последними цифрами, делилось на 8; для Д. на 9, — чтобы сумма цифр числа делилась на 9. Менее удобны признаки Д. на 7 и 13: на эти числа должна делиться разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами; эта операция уменьшает число знаков в числе, и последовательное её применение приводит к трёхзначному числу, например 825 678 делится на 7, т.к. 825-678 = 147 делится на 7.

Для двух чисел а и b среди всех их общих делителей существует наибольший, называемый наибольшим общим делителем. Если наибольший общий делитель двух чисел равен единице, то числа называются взаимно простыми. Целое число, делясь на два взаимно простых числа, делится и на их произведение. На этом факте основаны простые признаки Д. на 6 = 2×3, на 10 = 2×5, на 12 = 3×4, на 15 = 3×5 и т.д.

Аналогично теории Д. целых чисел строится теория Д. для многочленов и целых алгебраических чисел. При разложении многочленов роль простых чисел играют неприводимые многочлены. Свойство быть неприводимым зависит от того, какие числа допускаются в качестве коэффициентов. При действительных коэффициентах неприводимыми могут быть многочлены только 1-й и 2-й степени, при комплексных — только 1-й степени. Однозначность будет опять условная: с точностью до числового множителя. Для целых алгебраических чисел теорема об однозначности разложения на множители будет неверна; так, среди чисел вида

(а и b — целые) число 4 (для которого а = 4, b = 0) допускает два разложения:

причём ни один из множителей дальше не разложим. Это обстоятельство привело к введению так называемых идеальных чисел, или идеалов, для которых уже все теоремы о разложении сохраняются.

Лит.: Воробьев Н. Н., Признаки делимости, М., 1963.