Большая советсткая энциклопедия Штурма правило

Штурма правило

Штурма правило, правило, позволяющее находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами. Дано в 1829 Ж. Ш. Ф. Штурмом. Для любого многочлена f(x) без кратных корней существует система многочленов f(x) = f_o(x), f₁(x),..., f_s(x), для которой выполняются следующие условия:

1) f_k(x) и f_k+1(x), k=0, 1,..., s—1 не имеют общих корней,

2) многочлен f_s(x) не имеет действительных корней,

3) из f_k(a)= 0, 1£ k £ s — 1, следует, что f_k-1(a)f_k+1(a) < 0, 4) из f(a) = 0 следует, что произведение f(x)f₁(x) возрастает в точке a.

Пусть w(c) — число перемен знаков в системе f(c), f₁ (c),.. .,f_s (c). Тогда, если действительные числа а и b (а < b)не являются корнями многочлена f(x), то разность w(a) — w(b) неотрицательна и равна числу действительных корней многочлена f(x), заключённых между а и b. Т. о., числовую прямую можно разбить на интервалы, в каждом из которых содержится один действительный корень многочлена f(x).