Большая советсткая энциклопедия Шрёдингера уравнение

Шрёдингера уравнение

Шрёдингера уравнение, основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики; названо в честь австрийского физика Э. Шрёдингера, который предложил его в 1926. В квантовой механике Ш. у. играет такую же фундаментальную роль, как уравнение движения Ньютона в классической механике и Максвелла уравнения в классической теории электромагнетизма. Ш. у. описывает измерение во времени состояния квантовых объектов, характеризуемого волновой функцией. Если известна волновая функция y в начальный момент времени, то, решая Ш. у., можно найти y в любой последующий момент времени t.

Для частицы массы т, движущейся под действием силы, порождаемой потенциалом V (х, у, z, t), Ш. у. имеет вид:

, (1)

где i = , = 1,05^.10^¾27 эрг^. сек — Планка постоянная, — Лапласа оператор (х, у, z — координаты). Это уравнение называется временным Ш. у.

Если потенциал V не зависит от времени, то решения Ш. у. можно представить в виде:

y(х, у, z, t) = y (х, у, z), (2)

где Е — полная энергия квантовой системы, а y (x, у, z) удовлетворяет стационарному Ш. у.:

(3)

Для квантовых систем, движение которых происходит в ограниченной области пространства, решения Ш. у. существуют только для некоторых дискретных значений энергии: E₁, E₂,..., E_n,...; члены этого ряда (в общем случае бесконечного) нумеруются набором целых квантовых чисел n. Каждому значению Е_п соответствует волновая функция y_n (x, у, z), и знание полного набора этих функций позволяет вычислить все измеримые характеристики квантовой системы.

В важном частном случае кулоновского потенциала

(где е — элементарный электрический заряд) Ш. у. описывает атом водорода, и E_n представляют собой энергии стационарных состояний атома.

Ш. у. является математическим выражением фундаментального свойства микрочастиц — корпускулярно-волнового дуализма, согласно которому все существующие в природе частицы материи наделены также волновыми свойствами (эта гипотеза впервые была высказана Л. де Бройлем в 1924). Ш. у. удовлетворяет соответствия принципу и в предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, содержит описание движения частиц по законам классической механики. Переход от Ш. у. к классическим траекториям подобен переходу от волновой оптики к геометрической. Аналогия между классической механикой и геометрической оптикой, которая является предельным случаем волновой, сыграла важную роль в установлении Ш. у.

С математической точки зрения Ш. у. есть волновое уравнение и по своей структуре подобно уравнению, описывающему колебания нагруженной струны. Однако, в отличие от решений уравнения колебаний струны, которые дают геометрическую форму струны в данный момент времени, решения y(х, у, z, t) Ш. у. прямого физического смысла не имеют. Смысл имеет квадрат волновой функции, а именно величина r_n (x, у, z, t) = |y_n (x, у, z, t)|², равная вероятности нахождения частицы (системы) в момент t в квантовом состоянии n в точке пространства с координатами х, у, z. Эта вероятностная интерпретация волновой функции — один из основных постулатов квантовой механики.

Математическая формулировка постулатов квантовой механики, основанная на Ш. у., носит название волновой механики. Она полностью эквивалентна т. н. матричной механике В. Гейзенберга, которая была сформулирована им в 1925.

Ш. у. позволяет объяснить и предсказать большое число явлений атомной физики, а также вычислить основные характеристики атомных систем, наблюдаемые на опыте, например уровни энергии атомов, изменение спектров атомов под влиянием электрического и магнитного полей и т.д. С помощью Ш. у. удалось также понять и количественно описать широкий круг явлений ядерной физики, например закономерности a-распада, g-излучение ядер, рассеяние нейтронов на ядрах и др.

Лит.: Шрёдингер Э., Новые пути в физике. Статьи и речи, М., 1971. См. также лит. к ст. Квантовая механика.

Л. И. Пономарёв.