Большая советсткая энциклопедия Фурье интеграл
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я

Фурье интеграл

Фурье интеграл, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд) и если сходится

,

то

. (1)

Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позже другими математиками. Формулу (1) можно представить также в виде

, (2)

где

;

.

В частности для чётных функций

,

где

.

Формулу (2) можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период 2T, когда Т ® ¥. При этом а (u) и b (u) аналогичны коэффициентам Фурье функции f (x). Употребляя комплексные числа, можно заменить формулу (1) формулой

.

Формулу (1) можно преобразовать также к виду

(3)

(простой интеграл Фурье).

Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся (см. Несобственные интегралы), то во многих случаях их можно просуммировать к f (x) при помощи того или иного метода суммирования. При решении многих задач используются формулы Ф. и. для функций двух и большего числа переменных.

Лит.: Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М. — Л., 1948.

Следующие

Фурье коэффициенты, коэффициенты (*) разложения функции f (x), имеющей период 2T, в ряд Фурье (см. Фурье ряд). Формулы (*) на… читать дальше



Фурье метод, метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории … читать дальше



Фурье преобразование (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f (x) формулой: , (1) Если функция f (x) чёт… читать дальше