Большая советсткая энциклопедия Условный экстремум

Условный экстремум

Условный экстремум, относительный экстремум, экстремум функции f (x₁,..., x_{n + m}) от п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):

j_k (x₁,..., x_{n + m}) = 0, 1£ k £ m (*)

(см. Экстремум). Точнее, функция f имеет У. э. в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках некоторой окрестности точки М, координаты которых удовлетворяют уравнениям (*). Геометрически в простейшем случае У. э. функции f (x, у) при условии j(х, у) = 0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f (x, у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую j(х, у) = 0. В точке У. э. линия j(х, у)= 0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня [см. Уровня линии (поверхности)] функции f (x, у). При некоторых дополнительных условиях на уравнения связи (*) разыскание У. э. функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции, выразив x_{1 + 1}.., x_{n + m} из уравнения (*) через x₁,..., x_n и подставив эти выражения в функцию f. Др. метод решения – Лагранжа метод множителей.

Задачи на У. э. возникают во многих вопросах геометрии (например, разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т.д.

Многие задачи вариационного исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при условии, что др. функционалы имеют заданное значение (см., например, Изопериметрические задачи)или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе функций, удовлетворяющих некоторым уравнениям связи, и т.д. Решение таких задач также проводится методом множителей Лагранжа. См. также Линейное программирование. Математическое программирование и лит. при этих статьях.