Большая советсткая энциклопедия Уникурсальная кривая

Уникурсальная кривая

Уникурсальная кривая (от уни… и лат. cursus — бег, путь) (матем.), плоская кривая,, которая может быть задана параметрическими уравнениями x = j (t), y = y (t), где j (t) и y (t) — рациональные функции параметра t. Важнейшие теоремы об У. к.: если алгебраическая кривая имеет максимальное число двойных точек, допускаемое ее порядком, то она уникурсальна; обратная ей: всякая У. к. является алгебраической кривой с максимальным числом двойных точек, допускаемых ее порядком. В формулировке этих теорем предполагается, что точки высшей кратности пересчитаны по определенным правилам на двойные (например, одна тройная точка эквивалентна трем двойным).

Максимальное число двойных точек, которое может иметь алгебраическая кривая n-ого порядка, равно (n – 1)(n – 2)/2 = d. Если кривая n-ого порядка имеет r двойных точек, то разность d - r, т. е. число двойных точек, недостающее до максимального числа, называется дефектом, или родом, этой кривой. У. к. может быть также поэтому определена как алгебраическая кривая, род которой равен нулю. Очевидно, что прямая линия и кривая 2-го порядка не могут иметь двойных точек, следовательно, они всегда уникурсальны. Кривая 3-го порядка уникурсальна, если она имеет одну двойную точку, кривая 4-го порядка уникурсальна, если она имеет три двойные точки, и т. д.

На рис. изображена кривая 3-го порядка, называемая декартовым листом; она имеет одну двойную точку и, следовательно, уникурсальна. В самом деле, она может быть задана параметрическими уравнениями:

где параметр t равен тангенсу угла наклона радиус-вектора точки (x, y) к оси Ox.

При подсчете двойных точек нельзя основываться на внешнем виде кривой, т. к. двойные точки могут быть бесконечно удаленными или мнимыми. Например, кривая 4-го порядка — лемниската Бернулли, имеет одну лишь действительную двойную точку, но она имеет еще две двойные точки в мнимых круговых точках и, следовательно, уникурсальна.

У. к. играют важную роль в теории интегралов алгебраических функций. Всякий интеграл вида

где R(x, y) есть рациональная функция двух переменных, а y есть функция от x, определяемая уравнением F(x, y) = 0, задающим У. к., приводится к интегралу от рациональной функции и выражается в элементарных функциях.