Большая советсткая энциклопедия Размерностей анализ

Размерностей анализ

Размерностей анализ, метод установления связи между физическими величинами, существенными для изучаемого явления, основанный на рассмотрении размерностей этих величин.

В основе Р. а. лежит требование, согласно которому уравнение, выражающее искомую связь, должно оставаться справедливым при любом изменении единиц входящих в него величин. Это требование совпадает с требованием равенства размерностей в левой и правой частях уравнения. Формула размерности физической величины имеет вид:

[N] = L^l M ^mT ^t..., (1)

где [N] — символ размерности вторичной величины (обычно берётся в прямые скобки); L, М, Т, ... — символы величин, принятых за основные (соответственно длины, массы, времени и т.д.); I, m, t, ... — целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа. Показатели степени в формуле (1), т. е. числа l, m, t, называются показателями размерности или размерностью производной величины [N]. Так, формула размерности для ускорения (символ а) записывается в виде [а] = LT^—2, для силы — [F] = LMT^—2. Понятие размерности распространяется и на основные величины. Принимают, что размерность основной величины в отношении самой себя равна единице и что от др. величин она не зависит; тогда формула размерности основной величины совпадает с её символом. Если единица производной величины не изменяется при изменении какой-либо из основных единиц, то такая величина обладает нулевой размерностью по отношению к соответствующей основной. Так, ускорение обладает нулевой размерностью по отношению к массе. Величины, в размерность которых все основные величины входят в степени, равной нулю, называются безразмерными. Выбор числа физических величин, принимаемых за основные, и самих этих величин в принципе произволен, но практические соображения приводят к некоторому ограничению свободы в выборе основных величии и их единиц.

В СГС системе единиц за основные величины принимают длину, массу и время. В этой системе размерность выражается произведением трёх символов L, М и Т, возведённых в соответствующие степени. Международная система единиц содержит семь основных величин.

Если для исследуемого явления установлено, с какими величинами может быть связана искомая величина, но вид этой связи неизвестен, то можно составить уравнение размерностей, в котором в левой части будет стоять символ искомой величины со своим показателем размерности, а в правой — произведение символов величин, от которых искомая величина зависит, но с неизвестными показателями размерности. Задача нахождения связи между физическими величинами сводится в этом случае к отысканию значений соответствующих показателей размерности. Если, например, требуется определить время t прохождения пути s телом массой М, движущимся поступательно и прямолинейно под действием постоянной силы f, то можно составить уравнение размерности, имеющее вид:

Т = L^xM^y (LMT^—2) ^z, (2)

где х, у, z — неизвестны. Требование равенства показателей размерности левой и правой частей в уравнении (2) приводит к системе уравнений x + z =0, y + z =0, —2z = 1, откуда следует, что

х = у = ¹/₂, z = —¹/₂ и t = s/f. (3)

Безразмерный коэффициент С, равный, согласно законам механики, , в рамках Р. а. определить нельзя.

В этом состоит своеобразие Р. а. Устанавливаемая с его помощью зависимость искомой величины от величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до постоянного коэффициента (или коэффициента, зависящего от безразмерного параметра, например от угла). Для получения точных количественных соотношений нужны дополнительные данные. Поэтому Р. а. не является универсальным методом. Он нашёл плодотворное применение в тех областях физики (гидравлике, аэродинамике и др.), где строгое решение задачи часто наталкивается на значительные трудности, в частности из-за большого числа параметров, определяющих физические явления. При решении на основе Р. а. сложных задач большую роль сыграла теорема (её называют p-теоремой), согласно которой всякое соотношение между некоторым числом размерных величин, характеризующих данное физическое явление, можно представить в виде соотношения между меньшим числом безразмерных комбинаций, составленных из этих величин. Эта теорема связывает Р. а. с теорией физического подобия, в основе которой лежит утверждение, что если все соответствующие безразмерные характеристики (критерии подобия) для двух явлений одинаковы, то эти явления физически подобны (см. Подобия теория).

Лит.: Бриджмен П. В., Анализ размерностей, Л. — М., 1934; Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 6 изд., М., 1967; Коган Б. Ю., Размерность физической величины, М., 1968; Сена Л. А., Единицы физических величин и их размерности, М., 1969.

Л. А. Сена.