Большая советсткая энциклопедия Автоморфная функция

Автоморфная функция

Автоморфная функция (от авто... и греческого morphē — вид) (матем.), аналитическая функция, значения которой не изменяются, если её аргумент подвергается некоторым дробно линейным преобразованиям. К А. ф. относятся периодические функции и, в частности, эллиптические функции.

Так, например, если указанные преобразования — целые и имеют вид: z’ = z + w,где w — комплексное число, отличное от нуля, то получаются А. ф., характеризуемые уравнением f (z + w) = f (z), т. е. периодические функции с периодом w. В этом примере преобразованием, не изменяющим функции, является сдвиг плоскости на вектор w. Очевидно, что тот же сдвиг, повторённый сколько угодно раз, также не изменяет функции. В результате получается группа линейных преобразований z’ = z + nw (n = 0, ±1, ±2,...), не изменяющих f (z). В общем случае пусть Г — некоторая группа дробно линейных преобразований;

и G — область, которая каждым из этих преобразований отражается сама на себя. Тогда функция f, однозначная и аналитическая в области G, является А. ф. (по отношению к данной группе Г), если f [T_k (z)] = f (z), (k = 1, 2...). Наиболее важен случай, когда G есть круг или полуплоскость. Такую область можно рассматривать как изображение плоскости Лобачевского (см. Лобачевского геометрия), а преобразования группы Г — как движения в плоскости Лобачевского. Соответствующие А. ф. можно рассматривать как такое обобщение периодических функций, при котором сдвиги в евклидовой плоскости заменены движениями в плоскости Лобачевского. Эта точка зрения, развитая А. Пуанкаре, обеспечила успех в построении общей теории А. ф. (до А. Пуанкаре существенные результаты теории А. ф. получены Ф. Клейном). Вообще, вся теория А. ф., в её современном состоянии, представляет замечательный пример плодотворности геометрических идей Н. И. Лобачевского в их применении к задачам математического анализа и теории функций.

К общим А. ф., помимо вопросов конформного отображения, приводит также теория линейных дифференциальных уравнений, изучение алгебр, кривых порядка выше четвёртого (см. Алгебраическая геометрия), решение алгебраических уравнений (например, решение общего уравнения пятой степени с одним неизвестным получается посредством А. ф.) и т. д.

Лит.: Форд Л. P., Автоморфные функции, пер. с англ., М.— Л., 1936; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., ч. 1, М.— Л., 1937, гл. 8; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1950; его же, Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции, М., 1961.