Большая советсткая энциклопедия Минимальная логика

Минимальная логика

Минимальная логика, логическая система, являющаяся ослаблением интуиционистской логики и конструктивной логики за счёт исключения из числа постулатов формулы ùА É (А É В) (интерпретируемой как "из противоречия следует всё что угодно"). Несмотря на недоказуемость этого логического принципа и тем более формулы ù ù А É А ("закона снятия двойного отрицания"), в минимальном исчислении высказываний (А. Н. Колмогоров, 1925, норвежский логик И. Иоганссон, 1936) можно доказать от противного отрицательные предложения, опираясь на "закон приведения к абсурду": (А É В) É ((A É ù В) É ù А). Эту систему можно обычным образом расширить до минимального исчисления предикатов, играющего важную роль в работах по основаниям математики: его логические средства (хотя это явно и не оговаривается) используются, например, в доказательствах непротиворечивости классической арифметики, предложенных немецкими логиками Г. Генценом (1936, 1938) и К. Шютте (1951) и П. С. Новиковым (1943) (см. Метаматематика). Это исчисление используется также как логическая база метатеории в работах по ультраинтуиционистскому обоснованию математики (см. Аксиоматическая теория множеств, Аксиоматический метод). Ослабление (сужение) М. л. посредством исключения из числа аксиом "закона приведения к абсурду" приводит к положительной логике.

Лит.: Колмогоров А. Н., О принципе tertium non datur, "Математический сборник", 1925, т. 32, в. 4, с. 646—67; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 94, 490—91; Johansson J., Der Minimalkalkül, ein reduzierter Formalismus, "Compositio mathematica", 1937, v, 4, fasc. 1; Wajsberg M., Untersuchungen Über den Aussagenkalkül von A. Heyting, "Wiadomosci Mathematyczne", 1939, t. 46.

Ю. А. Гастев.