Большая советсткая энциклопедия Математическая картография

Математическая картография

Математическая картография, картографическая дисциплина, изучающая теорию картографических проекций, преобразований их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на практике. Иногда в М. к. включают весь комплекс вопросов, относящихся к математическому обоснованию карт (компоновка карт, расчёт рамок и др.), а также способы и средства измерений на картах (см. Картометрия). М. к. тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографическими и другими дисциплинами. На первых этапах (6 век до н. э. — 17 век н. э.) развития М. к. изобретались, исследовались и использовались отдельные картографические проекции, затем (18 век — начало 20 века) изучались также отдельные классы проекций и другие совокупности их. С середины 20 века успешно развивается теория создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или групп проекций, а также теория преобразований их. Методы современной М. к. механизируются и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.

В М. к. различают прямую и обратную задачи. Прямая задача М. к. — исследование свойств картографических проекций, заданных уравнениями вида

x = f₁(j, l), y = f₂(j, l), (1)

где (j и l — широта и долгота точки на земном эллипсоиде. Эта задача решается формулами теории искажений. Обратная задача М. к. имеет целью восстановление уравнений (1), или, более обще, нахождение проекций по заданным в них распределениям искажений. В процессе исторического развития М. к. использовались различные методы построения проекций: геометрические, аналитические, графоаналитические и другие, применимые, однако, к получению отдельных проекций или довольно узких совокупностей их. Общий метод изыскания проекций, дающих в то же время решение обратной задачи М. к., следует из системы Эйлера — Урмаева

(2)

где m и n — масштабы по меридианам и параллелям, e — угол между их изображениями, g — сближение меридианов. Это — система двух квазилинейных уравнений с частными производными 1-го порядка (например, и т. п.). Она недоопределенная: уравнений — два, функций — четыре. Различные способы доопределения системы (2), выполняемые на основе априорного задания, нужного для практики размещения искажений, позволяют исследовать всевозможные классы проекций. С точки зрения анализа система (2) даёт необходимые и достаточные условия существования проекции с заданными в них распределениями искажений. Систему (2), формулы теории искажений и некоторые их модификации относят к основным уравнениям М. к. При изысканиях новых проекций широко применяют методы численного анализа, теорию конформных и квазиконформных отображений, вариационное исчисление и др.

Система (2) приводит к генетической классификации картографических проекций, являющейся наиболее полной из всех классификаций и объемлющей известные и все мыслимые проекции. В её основе лежит понятие класса проекций как такой совокупности их, которая [после доопределения системы (2) уравнениями проекций в характеристиках] описывается определённой системой двух дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка; например, класс конформных проекций, класс проекций Эйлера и другие. Системы классов проекций могут быть эллиптических, гиперболических и других типов, в соответствии с чем и проекции, ими описываемые, относятся к указанным типам, что имеет фундаментальное значение при изыскании проекций конкретных классов, проявляющееся в априорном предсказании некоторых свойств новых проекций. Таким образом, М. к. — это своеобразный "арсенал" картографической науки и картографического производства, в специальных "рубриках" которого находятся определённые классы и другие совокупности картографических проекций. Для конкретного производственного задания оттуда может быть взята нужная проекция (или изыскана новая).

Одной из центральных проблем М. к. является задача построения наивыгоднейших картографических проекций, то есть проекций, в которых искажения в каком-либо смысле сведены к минимуму. Она полностью ещё не решена даже для хорошо известных классов проекций, хотя частными случаями этой задачи занимались многие известные учёные (Л. Эйлер, К. Гаусс, П. Л. Чебышев и другие). Проблема ставится двояко: для заданной области изыскивают проекции с минимумом искажений либо из всего мыслимого множества проекций (идеальные проекции), либо из определённого класса (наилучшие проекции класса). В обоих случаях задача с математической точки зрения обращается в проблему приближения функций двух переменных. Но в последней также существуют различные постановки: обращаясь, например, к теории наилучших приближений, говорят о наивыгоднейших проекциях минимаксного типа, а пользуясь теорией квадратических приближений, исследуют наивыгоднейшие проекции вариационного типа. Общая проблема построения наивыгоднейших картографических проекций приводит к ряду новых экстремальных задач на условный минимакс и других. До конца исследован лишь случай наилучших конформных проекций. Согласно теореме Чебышева — Граве, наилучшей конформной проекцией (чебышевской) для данной области является та, крайняя изокола в которой совпадает с контуром изображаемой территории. В чебышевских проекциях искажения площадей наименее уклоняются от нуля. Как следствие, в них наименее уклоняются от нуля также модули логарифмов масштабов длин; отношение наибольшего масштаба к наименьшему минимально; минимальна также наибольшая кривизна изображений геодезических линий; наконец, среднее квадратическое значение логарифмов масштаба длин также минимально. Такое сочетание различных положительных свойств у чебышевских проекций характерно для класса конформных проекций как наиболее простого (но и важного для практики) среди всех других классов. Примером чебышевской проекции является стереографическая проекция, которая при изображении на плоскости сферического сегмента и при специальном выборе произвольной постоянной удовлетворяет условиям теоремы. Методика построения чебышевских проекций детально разработана и для произвольных территорий. Теорема Чебышева — Граве справедлива для ряда некоторых других классов проекций, неконформных, но эллиптического типа.

Лит.: Соловьев М. Д., Математическая картография, М., 1969; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968; его же, О современных задачах математической картографии, "Труды Новосибирского института инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии", 1967, т. 20; Каврайский В. В., Современные задачи математической картографии. Тезисы доклада на шестой научной сессии ЛГУ, Л., 1949; Гинзбург Г. А., О задачах математической картографии в СССР в области мелкомасштабных карт, "Геодезия и картография", 1958, № 12; Павлов А. А., Математическая картография, в сборнике: Итоги науки и техники. Картография, т. 5, М., 1972, с. 53—66.

Г. А. Мещеряков.