Большая советсткая энциклопедия Лапласа теорема

Лапласа теорема

Лапласа теорема, простейшая из предельных теорем теории вероятностей, относящаяся к распределению отклонений частоты появления события при независимых испытаниях от его вероятности. В общем виде эта теорема доказана П. Лапласом в книге "Аналитическая теория вероятностей" (1812). Один частный случай Л. т. был известен А. Муавру (1730), в связи с чем Л. т. иногда называется теоремой Муавра — Лапласа. Формулировка Л. т. такова. Пусть при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого события Е равна р (0<р<1) и пусть m обозначает число испытаний, в которых событие Е фактически наступает; тогда вероятность неравенства

при достаточно большом числе испытаний n сколь угодно мало отличается от

.

Если обозначить через X_k случайную величину, принимающую значение, равное 1, при появлении события Е в k-ом испытании и значение, равное 0, при его непоявлении, то m представляется как сумма независимых случайных величин m = X₁ + ...+ X_n. Это позволяет рассматривать Л. т. как частный случай более общих предельных теорем теории вероятностей, в частности Ляпунова теоремы.

Приближённые значения вероятностей, даваемые Л. т., на практике используются как точные при npq порядка нескольких десятков и большем.

Лит. см. при ст. Предельные теоремы теории вероятностей.

Ю. В. Прохоров.