Большая советсткая энциклопедия Квантор

Квантор

Квантор (от лат. quantum — сколько), логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа "все", "каждый", "некоторый", "существует", "имеется", "любой", "всякий", "единственный", "несколько", "бесконечно много", "конечное число", а также все количественные числительные. В формализованных языках, составной частью которых является исчисление предикатов, для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным К. двух видов: К. (все) общности (оборот "для всех х", обозначается через "x, ("x), (x) (Ax), ) и К. существования ("для некоторых х", обозначения: $x, ($x), (Ех),

С помощью К. можно записать четыре основных формы суждений традиционной логики: "все А суть В" записывается в виде "x [A (x)É ÉB (x)], "ни одно A не есть B" — в виде "x [A (x)É B (x)], "некоторые А суть B" — в виде $x [A (x)&B (x)], "некоторые А не суть В" — в виде $x [A (x)& B (x)] (здесь А (х) означает, что х обладает свойством A, É — знак импликации, — отрицания, & — конъюнкции).

Часть формулы, на которую распространяется действие каких-либо К., называется областью действия этого К. (её можно указать с помощью скобок). Вхождение какой-либо переменной в формулу непосредственно после знака К. или в область действия К., после которого стоит эта переменная, называется её связанным вхождением. Все остальные вхождения переменных называются свободными. Формула, содержащая свободные вхождения переменных, зависит от них (является их функцией); связанные же вхождения переменных можно "переименовывать"; например, записи $x (x = 2y) и $z (z = 2y) означают одно и то же, чего нельзя сказать о $x (x = 2y) и $x (x = 2t). Применение К. уменьшает число свободных переменных в логическом выражении и превращает (если К. не "фиктивный", т. е. относится к переменной, действительно входящей в формулу) трёхместный предикат в двухместный, двухместный — в одноместный, одноместный — в высказывание. Употребление К. кодифицируется специальными "постулатами квантификации" (присоединение которых к исчислению высказываний по существу и означает расширение его до исчисления предикатов), например, следующими "постулатами Бернайса": аксиомами A (t) É $xA (x) и "xA (x) É A (t) и правилами вывода "если доказано С ÉА (х) É С, то можно считать доказанным и С É "хA (х)" и "если доказано А (х)ÉС, то можно считать доказанным и $ хA (x) É C" (здесь х не входит свободно в С).

К К. общности и существования сводятся и др. виды К., например вместо так называемого К. единственности $! x ("существует единственный х такой, что") можно писать "обычные" К., заменяя $! xA (x) на

$ xA (x) &"y"z [A (y)&A (z) É y = z].

Аналогично, К., "ограниченный" каким-либо одноместным предикатом P (x)($x_{P (x)}, читается как "существует x, удовлетворяющий свойству Р и такой, что", а "x_{p (x)} — "для всех х, удовлетворяющих свойству Р, верно, что"), легко выразить через К. общности и существования и операторы импликации и конъюнкции:

$x_{p (x)} A (x) º $x [P (x)&A (x)] и

"x_{p (x)} A (x) º "x [P (x)ÉA (x)].

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.

Ю.А. Гастев.