Большая советсткая энциклопедия Гиперкомплексные числа
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я

Гиперкомплексные числа

Гиперкомплексные числа, обобщение понятия о числе, более широкое, чем обычные комплексные числа. Смысл обобщения состоит в том, чтобы обычные арифметические действия над такими числами одновременно выражали некоторые геометрические процессы в многомерном пространстве или давали количественное описание каких-либо физических законов. При попытках построить числа, которые играли бы для 3-мерного пространства ту же роль, какую играют комплексные числа для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию систем Г. ч.

Г. ч. представляют собой линейные комбинации (с действительными коэффициентами x1, x2,...,. xn) некоторой системы, е1, е2..., en "базисных единиц":

x1e1 + x2e2 +... + хпеп (*)

подобно тому, как комплексные числа x+iy являются линейными комбинациями двух "базисных единиц": действительной единицы 1 и мнимой единицы i. Для того чтобы использовать Г. ч., надо в первую очередь установить правила арифметических действий над ними. Сложение и вычитание Г. ч., очевидно, получают однозначное определение, если для новых чисел сохранить обычные правила арифметики; именно, компоненты х1, х2,..., хп "базисных единиц" должны соответственно складываться или вычитаться. Истинное значение проблемы отчётливо выступает только при установлении правила умножения; для установления почленного перемножения Г. ч. вида (*) приходят к необходимости установить значения n2 произведений eiek (i = 1, 2,..., n; k = 1, 2,..., n). Задача состоит в том, чтобы этим произведениям приписать значения вида (*), сохраняющие в силе все обычные правила арифметических операций. Этому требованию удовлетворяет (кроме простейшего случая действительных чисел) единственная система Г. ч. — система комплексных чисел. При установлении же всякой другой системы Г. ч. необходимо отказаться от того или иного правила арифметики; обычно такими правилами, терпящими нарушение, оказываются: однозначность результата деления; переместительность умножения; правило, в силу которого равенство нулю произведения двух чисел влечёт за собой обращение в нуль, по крайней мере, одного из сомножителей, и т.п. Важнейшая система Г. ч. — кватернионы — получается при отказе от коммутативности (переместительности) умножения и сохранения остальных свойств сложения и умножения.

Лит.: Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, М., 1956, гл. 20.

Следующие

Гиперметаморфоз (от гипер... и греч. metamorphosis — превращение), сложный способ развития некоторых насекомых (нарывников, веер… читать дальше



Гиперметропия (от гипер... и греч. metron — мера и ops, родительный падеж opos — глаз), нарушение зрения; то же, что дальнозорко… читать дальше



Гиперморфоз (от гипер... и греч. morphe — вид, форма), гипертелия, сверхспециализация, тип филогенетического развития, ведущий к… читать дальше